现和创造过程，同时体现了数学发生、发展的客观需求，复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充.在本模块中，学生将在问题情境中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性，学习复数的一些基本知识，体会人类理性思维在数系扩充中的作用.

　　框图是表示一个系统各部分和各环节之间关系的图示，它的作用在于能够清晰地表达比较复杂的系统各部分之间的关系.框图已经广泛应用于算法、计算 机程序设计、工序流程的表述、设计方案的比较等方面，也是表示数学计算与证明过程中主要逻辑步骤的工具，并将成为日常生活和各门学科中进行交流的一种常用 表达方式.在本模块中，学生将学习用“流程图”、“结构图”等刻画数学问题以及其他问题的解决过程；并在学习过程中，体验用框图表示数学问题解决过程以及 事物发生、发展过程的优越性，提高抽象概括能力和逻辑思维能力，能清晰地表达和交流思想.

　　内容与要求

　　1.统计案例(约14课时)

　　通过典型案例，学习下列一些常见的统计方法，并能初步应用这些方法解决一些实际问题.

　　①通过对典型案例(如“肺癌与吸烟有关吗”等)的探究，了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及初步应用.

　　②通过对典型案例(如“质量控制”、“新药是否有效”等)的探究，了解实际推断原理和假设检验的基本思想、方法及初步应用(参见例1).

　　③通过对典型案例(如“昆虫分类”等)的探究，了解聚类分析的基本思想、方法及初步应用.

　　④通过对典型案例(如“人的体重与身高的关系”等)的探究，进一步了解回归的基本思想、方法及初步应用.

　　2.推理与证明(约10课时)

　　(1)合情推理与演绎推理

　　①结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用(参见例2、例3).

　　②结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单推理.

　　③通过具体实例，了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.

　　(2)直接证明与间接证明

　　①结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.

　　②结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点.

　　(3)数学文化

　　①通过对实例的介绍(如欧几里德《几何原本》、马克思《资本论》、杰弗逊《独立宣言》、牛顿三定律)，体会公理化思想.

　　②介绍计算机在自动推理领域和数学证明中的作用.

　　3.数系的扩充与复数的引入(约4课时)

　　(1)在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾(数的运算规则、方程求根)在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系.

　　(2)理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件.

　　(3)了解复数的代数表示法及其几何意义.

　　(4)能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.

　　4.框图(约6课时)

　　(1)流程图

　　①通过具体实例，进一步认识程序框图.

　　②通过具体实例，了解工序流程图(即统筹图)(参见例4、例5).

　　③能绘制简单实际问题的流程图，体会流程图在解决实际问题中的作用.

　　(2)结构图

　　①通过实例，了解结构图；运用结构图梳理已学过的知识、整理收集到的资料信息.

　　②结合作出的结构图与他人进行交流，体会结构图在揭示事物联系中的作用.

　　说明与建议

　　1.统计案例的教学中，应鼓励学生经历数据处理的过程，培养他们对数据的直观感觉，认识统计方法的特点(如统计推断可能犯错误，估计结果的随机 性)，体会统计方法应用的广泛性.应尽量给学生提供一定的实践活动机会，可结合数学建模的活动，选择1个案例，要求学生亲自实践.对于统计案例内容，只要 求学生了解几种统计方法的基本思想及其初步应用，对于其理论基础不作要求，避免学生单纯记忆和机械套用公式.

　　2.教学中，应鼓励学生使用计算器、计算机等现代技术手段来处理数据，有条件的学校还可运用一些常见的统计软件解决实际问题.

　　3.教学中应通过实例，引导学生运用合情推理去探索、猜测一些数学结论，并用演绎推理确认所得结论的正确性，或者用反例推翻错误的猜想.教学的重点在于通过具体实例理解合情推理与演绎推理，而不追求对概念的抽象表述.

　　4.本模块中设置的证明内容是对学生已学过的基本证明方法的总结.在教学中，应通过实例，引导学生认识各种证明方法的特点，体会证明的必要性.对证明的技巧性不宜作过高的要求.

　　5.框图的教学，应从分析实例入手，引导学生运用框图表示数学计算与证明过程中的主要思路与步骤、实际问题中的工序流程、某一数学知识系统的结构关系等.使学生在运用框图的过程中理解流程图和结构图的特征，掌握框图的用法，体验用框图表示解决问题过程的优越性.

　　6.在复数概念与运算的教学中，应注意避免繁琐的计算与技巧训练.对于感兴趣的学生，可以安排一些引申的内容，如求x³=1的根、介绍代数学基本定理等.

　　参考案例

　　例1 某地区羊患某种病的概率是0.4，且每只羊患病与否是彼此独立的.今研制一种新的预防药，任选5只羊做实验，结果这5只羊服用此药后均未患病.问此药是否有效.

　　初看起来，会认为这药一定有效，因为服药的羊均未患病.但细想一下，会有问题，因为大部分羊不服药也不会患病，患病的羊只占0.4左右.这5只 羊都未患病，未必是药的作用.分析这问题的一个自然想法是：若药无效，随机抽取5只羊都不患病的可能性大不大.若这件事发生的概率很小，几乎不会发生，那 么现在我们这几只羊都未患病，应该是药的效果，即药有效.

　　现假设药无效，5只羊都不生病的概率是

　　(1-0.4)⁵≈0.078.

　　这个概率很小，该事件几乎不会发生，但现在它确实发生了，说明我们的假设不对，药是有效的.

　　这里的分析思想有些像反证法，但并不相同.给定假设后，我们发现，一个概率很小几乎不会发生的事件却发生了，从而否定我们的“假设”.