习总结报告.对数学发展的历史轨迹、自己感兴趣的历史事件与人物，写出自己的研究报告.

　　本专题由若干个选题组成，内容应反映数学发展的不同时代的特点，要讲史实，更重要的是通过史实介绍数学的思想方法，选题的个数以不少于6个为宜.以下专题可供选择.

　　1.早期算术与几何——计数与测量

　　◆纸草书中记录的数学(古代埃及).

　　◆泥板书中记录的数学(两河流域).

　　◆中国《周髀算经》、勾股定理(赵爽的图).

　　◆十进位值制的发展.

　　2.古希腊数学

　　◆毕达哥拉斯多边形数，从勾股定理到勾股数，不可公度问题.

　　◆欧几里德与《几何原本》，演绎逻辑系统，第五公设问题，尺规作图，公理化思想对近代科学的深远影响.

　　◆阿基米德的工作：求积法.

　　3.中国古代数学瑰宝

　　◆《九章算术》中的数学(方程术、加减消元法、正负数).

　　◆大衍求一术(孙子定理).

　　◆中国古代数学家介绍.

　　4.平面解析几何的产生——数与形的结合

　　◆函数与曲线.

　　◆笛卡尔方法论的意义.

　　5.微积分的产生——划时代的成就

　　6.近代数学两巨星——欧拉与高斯

　　◆欧拉的数学直觉.

　　◆高斯时代的特点(数学严密化).

　　7.千古谜题——伽罗瓦的解答

　　◆从阿贝尔到伽罗瓦(一个中学生数学家).

　　◆几何作图三大难题.

　　◆近世代数的产生.

　　8.康托的集合论——对无限的思考

　　◆无限集合与势.

　　◆罗素悖论与数学基础(哥德尔不完备定理).

　　9.随机思想的发展

　　◆概率论溯源.

　　◆近代统计学的缘起.

　　10.算法思想的历程

　　◆算法的历史背景.

　　◆计算机科学中的算法.

　　11.中国现代数学的发展

　　◆现代中国数学家奋发拼搏，赶超世界数学先进水平的光辉历程.

　　说明与建议

　　1.本专题不必追求数学发展历史的系统性和完整性，通过学生生动活泼的语言与喜闻乐见的事例呈现内容，使学生体会数学的重要思想 和发展轨迹.本专题的内容安排可以采取多种形式，既可以由古到今，追寻数学发展的历史；也可以从现实的、学生熟悉的数学问题出发，追根溯源，回眸数学发展 中的重要事件和人物.例如，可以从“我们现在有多少种记数方法”出发，追溯历史上的记数法(巴比伦的60进制、英国的12 进制、计算机的二进制以及10进制，二进制与中国的八卦).又如，可以从学生熟悉的π入手，漫谈祖冲之的成果，用随机数方法计算π，介绍古希腊和中国古代 如何对待无理数、目前计算机可以算π到小数点后多少位等问题.

　　2.以上所提供的内容仅仅是一种选择，本专题内容的安排可以根据具体情况，作适当调整.内容应突出所蕴涵的思想性，突出数学发展的轨迹，突出数学家刻苦钻研的科学精神.内容的选择要符合学生的接受水平，呈现方式应图文并茂、丰富多彩，引起学生的兴趣.

　　3.教学方式应灵活多样，可采取讲故事、讨论交流、查阅资料、撰写报告等方式进行.教师应鼓励学生对数学发展的历史轨迹、自己感兴趣的历史事件与人物，写出自己的研究报告.

信息安全与密码

　　数论和代数在现代信息理论、信息安全中有许多重要的应用.本专题将介绍和学习初等数论的某些知识(如整除与同余)，以及数论在现代信息安全中的某些重要应用，使学生了解数学在信息科学中的应用，提高对数学的鉴赏力和学习数学的兴趣.

　　内容与要求

　　1.初等数论的有关知识

　　(1)了解整除和同余，模m的完全同余系和简化剩余系，欧拉定理和费马小定理，大数分解问题.

　　(2)了解欧拉函数的定义和计算公式，威尔逊定理及在素数判别中的应用，原根与指数，模p的原根存在性，离散对数问题.

　　2.数论在信息安全中的应用

　　(1)了解通讯安全中的有关概念(如明文、密文、密钥)和通讯安全中的基本问题(如保密、数字签名、密钥管理、分配和共享).

　　(2)了解古典密码的一个例子：流密码(利用模m同余方式).

　　(3)理解公钥体制(单项函数概念)，以及加密和数字签名的方法(基于大数分解的RSA方案).

　　(4)理解离散对数在密钥交换和分配中的应用——棣弗-赫尔曼(Diffi-Hellman)方案.

　　(5)理解离散对数在加密和数字签名中的应用——盖莫尔(El Gamal)算法.

　　(6)了解拉格朗日插值公式在密钥共享中的应用.

　　3.完成一个学习总结报告

　　报告应包括两方面的内容：(1)知识的总结.对信息安全有关内容的理解和认识，体会数学(数论和代数学)在信息安全中的作用.(2)拓展.通过查阅课外资料，对某些内容和应用进行进一步探讨和思考.

　　说明与建议

　　1.本专题的教材编写与教学应力求深入浅出.教学时，教师应注意介绍相关内容(如通信技术的发展等)的历史与背景，帮助学生理解信息安全中需要解决的问题以及如何利用公钥体制解决这些问题，体会大数分解和离散对数等思想方法在现代信息安全中所起的作用.

　　2.在条件允许的情况下，教师应引导学生利用计算机对下列问题进行思考，编制程序、上机实验.

　　用辗转相除计算最大公约数；

　　解同余方程ax≡b(mod m)；

　　判断大整数是否为素数(用Wilson定理)；

　　大数分解.

球面上的几何

　　我们生活在地球上，地球表面十分接近于一个球面.因此，在实际生活中，球面上的几何(简称球面几何)知识有着广泛的实际应用.例 如，大地(天体)测量、航空、卫星定位等方面均需利用球面几何的知识.在理论上，球面几何是一个与欧氏平面几何不同的几何模型，是一个重要非欧几何的数学 模型，球面几何在几何学的理论研究方面，具有特殊的作用.

　　本专题将使学生了解一个新的数学模型——球面几何，初步学习球面几何的一些基本知识及其在实际中的一些应用，通过比较球面几何和 欧氏平面几何的差异和联系，感受自然界中存在着丰富多彩的数学模型.类比是学习这个专题所用到的重要的思想方法，空间想像和几何直观能力是学好这个专题的 关键.

　　内容与要求

　　1.通过丰富的实际问题(如测量、航空、卫星定位)，体会引入球面几何知识的必要性.

　　2.通过球面图形与平面图形的比较，感受球面几何与欧氏平面几何的异同.例如，球面上的大圆相当于平面上的直线，球面上