、闭曲面进行分类，了解一些曲线、闭曲面的分类结果.

　　7.了解拓扑思想的一些应用(如平面布线问题、一笔画问题、布劳威尔不动点定理与经济稳定点问题、四色问题).

　　8.完成一个学习总结报告.报告应包括三方面的内容：(1)知识的总结.本专题整体结构和内容的理解，以及对数学变换思想的认识.(2)拓展.通过查阅资料、调查研究、访问求教、独立思考，进一步理解变换的不变量和曲面分类的思想.(3)学习本专题的感受、体会.

　　说明与建议

　　1.这部分内容比较抽象，首先要复习中学阶段学过的几何变换以及分析在这些变换下不变的几何性质，并由此体会变换和变换不变量的思想.

　　2.引导学生探索发现欧拉公式的过程，以及对欧拉公式证明的理解，帮助学生体会数学家创造性工作，这是一个非常好的范例.

　　3.三角剖分是研究图形拓扑性质的重要思想方法，引导学生经历对具体曲面使用三角剖分的方法研究其性质的过程，使学生通过操作和实践学习和掌握三角剖分思想方法.

　　4.拓扑变换是一个非常抽象的概念，应该关注学生对拓扑变换形象和直观的理解，例如，把拓扑变换理解为橡皮变换，不要引导学生追求拓扑变换形式化的定义.

　　5.在介绍拓扑学应用时，应注重对拓扑思想方法的介绍，不追求严格化的叙述.

三等分角与数域扩充

　　三等分角问题、倍方问题和化圆为方问题被称为古希腊的三大几何作图问题.解决这类问题的思想方法不仅在数学上,而且在人类的思想史上都具有重大意义.

　　本专题将通过对三等分角问题的讨论使学生了解解决这类问题的基本思想方法，并能用此方法解决倍方问题和仅用圆规直尺不能作正七边 形的问题.另外还介绍用代数方法讨论正十七边形是可作图的(即可用尺规作图方法作出正十七边形).通过以上的讨论，使学生体会和理解其中蕴涵的数学思想方 法，提高分析和解决数学问题的能力.

　　内容与要求

　　1.了解古希腊三大几何作图问题，通过三等分角问题了解它们的正确提法.在不限于圆规和直尺的前提下，了解三等分角的几种不同做法.

　　2.理解解决三等分角问题的基本思路——刻画尺规作图的范围.

　　3.给定线段a ,b ,会用尺规作图方法作出长为a +b，a –b，ab，的线段.

　　4.对于给定的任何已知线段，若把它作为单位长, 则任一(正)有理数是可作图的(即仅用圆规和直尺可作出该有理数长的线段).

　　5.通过有理数对加、减、乘、除运算的封闭性，了解有理数域和一般数域的概念.

　　6.设F 是一数域，k∈F且.证明：集合{a+b，a，b∈F } 也是一个数域，且F是集合{a+b，a，b∈F }的子集合.了解扩域的概念.

　　7.给出一些数域、扩域的具体实例.

　　8.给定长为a的线段,会用尺规作图方法作出长为的线段.

　　9.学会把三等分角问题代数化.

　　10.证明：不能用尺规作图的方法三等分60度角.

　　11.用上述方法讨论“倍方问题”或“用圆规和直尺不可能作出正七边形”.

　　12.体会解决古希腊三大作图问题的思想方法和它在人们思想认识上的作用.

　　13.了解复数乘法的棣莫弗公式，会用代数方法讨论正十七边形是可作图的(即可用尺规作图方法作出正十七边形).

　　14.完成学习总结报告.报告应包括三方面的内容：(1)知识的总结.解决三等分角问题基本思路，清楚地表述证明的过程.体会和 理解其中蕴涵的数学思想方法.(2)拓展.通过查阅资料、调查研究、访问求教、独立思考，进一步体会几何问题代数化的方法和处理几何作图问题的思想. (3)学习本专题的感受、体会.

　　说明与建议

　　1.本专题在思想上和证明的论述上的要求都是比较高的.要求学生学会把握解决问题的整体思路，还要求学生在证明时，层次分明，条理清楚.培养学生表达和论述的能力.

　　2.在教学过程中，教师应该引导学生对某些问题进行探索.

　　3.通过本专题的学习，让学生认识到数学的作用不限于解决问题，在形成人类正确的思想方法和世界观方面数学同样发挥着重要的作用.

系列4

几何证明选讲

　　几何证明选讲有助于培养学生的逻辑推理能力，在几何证明的过程中，不仅是逻辑演绎的程序，它还包含着大量的观察、探索、发现的创 造性过程.本专题从复习相似图形的性质入手，证明一些反映圆与直线关系的重要定理，并通过对圆锥曲线性质的进一步探索，提高学生空间想象能力、几何直观能 力和运用综合几何方法解决问题的能力.

　　内容与要求

　　1.复习相似三角形的定义与性质，了解平行截割定理，证明直角三角形射影定理.

　　2.证明圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理.

　　3.证明相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理.

　　4.了解平行投影的含义，通过圆柱与平面的位置关系，体会平行投影；证明平面与圆柱面的截线是椭圆(特殊情形是圆).

　　5.通过观察平面截圆锥面的情境，体会下面定理：

　　定理：在空间中，取直线l为轴，直线l′与l相交于O点，其夹角为α， l′围绕l旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴l交角为β(π与l平行，记β＝0)，则：

　　β＞α，平面π与圆锥的交线为椭圆；

　　β＝α，平面π与圆锥的交线为抛物线；

　　β＜α，平面π与圆锥的交线为双曲线.

　　6.利用Dandelin双球(这两个球位于圆锥的内部，一个位于平面π的上方，一个位于平面的下方，并且与平面π及圆锥均相切)证明上述定理(1)情况.

　　7.试证明以下结果：①在6中，一个Dandelin球与圆锥面的交线为一个圆，并与圆锥的底面平行，记这个圆所在平面为π′； ②如果平面π与平面π′的交线为m，在5(1)中椭圆上任取一点A，该Dandelin球与平面π的切点为F，则点A到点F的距离与点A到直线m的距离比 是小于1的常数e.(称点F为这个椭圆的焦点，直线m为椭圆的准线，常数e为离心率.)

　　8.探索定理中(3)的证明，体会当β无限接近α时平面π的极限结果.

　　9.完成一个学习总结报告.报告应包括三方面的内容：(1)知识的总结.对本专题整体结构和内容的理解，对数学证明的认识.(2)拓展.通过查阅资料、独立思考，对某些内容和应用进行进一步探讨.(3)学习本专题的感受、体会.

　　说