明与建议

　　本专题的编写与教学，都应力求深入浅出.对内容与要求6、7的两个命题证明过程中，蕴涵着丰富的数学思想方法，它们有助于学生体 会空间想象能力和几何直观能力在解决问题中的作用，有助于提高学生综合运用几何知识解决问题的能力.教学时，教师应鼓励学生独立思考，主动尝试、探索，必 要时要给予适当的指导，并应鼓励学生写出课题报告，尽可能清晰地表达自己的思考过程与论证过程.

　　在条件允许的学校，教师可以利用现代计算机技术，动态地展现Dandelin两球的方法，帮助学生利用几何直观进行思维.

矩阵与变换

　　矩阵是研究图形(向量)变换的基本工具，有着广泛的应用，许多数学模型都可以用矩阵来表示.

　　本专题将通过平面图形的变换讨论二阶方阵的乘法及性质、逆矩阵和矩阵的特征向量等概念，并以变换和映射的观点理解解线性方程组的意义，初步展示矩阵应用的广泛性.

　　内容与要求

　　1.引入二阶矩阵

　　2.二阶矩阵与平面向量(列向量)的乘法、平面图形的变换

　　(1)以映射和变换的观点认识矩阵与向量乘法的意义.

　　(2)证明矩阵变换把平面上的直线变成直线，即证明

　　A(λ₁α+λ₂β)=λ₁Aα+λ₂Aβ.

　　(3)通过大量具体的矩阵对平面上给定图形(如正方形)的变换，认识到矩阵可表示如下的线性变换：恒等、反射、伸压、旋转、切变、投影.

　　3.变换的复合——二阶方阵的乘法

　　(1)通过变换的实例，了解矩阵与矩阵的乘法的意义.

　　(2)通过具体的几何图形变换，说明矩阵乘法不满足交换律.

　　(3)验证二阶方阵乘法满足结合律.

　　(4)通过具体的几何图形变换，说明乘法不满足消去律.

　　4.逆矩阵与二阶行列式

　　(1)通过具体图形变换，理解逆矩阵的意义；通过具体的投影变换，说明逆矩阵可能不存在.

　　(2)会证明逆矩阵的唯一性和(AB)^-1=B^-1A^-1等简单性质，并了解其在变换中的意义.

　　(3)了解二阶行列式的定义，会用二阶行列式求逆矩阵.

　　5.二阶矩阵与二元一次方程组

　　(1)能用变换与映射的观点认识解线性方程组的意义.

　　(2)会用系数矩阵的逆矩阵解方程组.

　　(3)会通过具体的系数矩阵，从几何上说明线性方程组解的存在性，唯一性.

　　6.变换的不变量

　　(1)掌握矩阵特征值与特征向量的定义，能从几何变换的角度说明特征向量的意义.

　　(2)会求二阶方阵的特征值与特征向量(只要求特征值是两个不同实数的情形).

　　7.矩阵的应用

　　(1)利用矩阵A的特征值、特征向量给出Aⁿα简单的表示，并能用它来解决问题.

　　(2)初步了解三阶或高阶矩阵.

　　(3)了解矩阵的应用.

　　8.完成一个学习总结报告.报告应包括三方面的内容：(1)知识的总结.理解本专题的整体思路、结构和内容，进一步认识变换的思想.(2)拓展.通过查阅资料、调查研究、访问求教、独立思考，对矩阵变换及其应用做进一步探讨.(3)学习本专题的感受、体会.

　　说明与建议

　　1.本专题只对具体的二阶方阵加以讨论，而不讨论一般m×n阶矩阵以及(a_ij)形式的表示.

　　2.矩阵的引入要从具体的实例开始，通过具体的实例让学生认识到，某些几何变换可以用矩阵来表示，丰富学生对矩阵几何意义的理解，并引导学生用映射的观点来认识矩阵、解线性方程组.

　　3.要求从图形的变换直观地理解矩阵的乘法，并通过具体的实例让学生理解矩阵乘法的运算律.

　　4.要在具体的实例中理解逆矩阵和特征值的实际意义及其不变性，结合具体实例能用线性方程组或用行列式来求解简单二阶矩阵的逆矩阵和特征值.逆矩阵的唯一性定理要结合具体几何变换来理解其合理性.

　　5.在学习二阶矩阵基础知识的同时，教师可以根据教学的实际情况适时地介绍一些矩阵的拓广知识(如三阶矩阵或高阶矩阵)，这些不要求学生掌握，只要求学生作一些感性的认识，也便于学生对矩阵的有关知识有一个较为全面的了解，有利于以后的学习.

　　6.这部分内容的教学应让学生认识到，矩阵从实际生活需要中产生，并在实际的问题中有着广泛的应用，体验数学的抽象更有助于人们对问题的思考与解决.

数列与差分

　　随着信息技术的日益普及和发展，离散数学的应用越来越广泛.差分和差分方程是描述离散变量变化的重要工具，在理论上是十分重要的，并且有广泛的应用.

　　本专题初步研究数列的差分和简单的差分方程，使学生掌握一些用离散变量分析解决问题的方法.

　　内容与要求

　　1.数列的差分

　　(1)通过一些具体实例，理解数列差分的概念.

　　(2)理解数列的一、二阶差分以及它们对描述数列变化的意义，结合数列(作为函数)的图像，了解差分与数列的增减、极值、数列图像的凹凸的关系.

　　2.一阶线性差分方程x_n+1=kx_n+b

　　(1)通过一些具体实例，体会方程x_n+1=kx_n+b是十分有用的数学模型.

　　(2)理解方程x_n+1=kx_n+b中，当b=0(即方程为齐次方程)时，其解为等比数列；当k=1(即差分为常数)时，其解为等差数列.

　　(3)认识方程x_n+1=kx_n+b的通解、特解，了解方程的解与相应的齐次方程x_n+1=kx_n通解的关系；能给出方程x_n+1=kx_n+b的通解公式.

　　3.(二元)一阶线性差分方程组

　　(1)通过一些实例，认识一阶线性差分方程组是描述现实世界的一个重要模型.

　　(2)了解一阶线性差分方程组的通解、特解与其相应齐次方程组通解的关系.

　　(3)给定初值，会用迭代法求一阶线性差分方程组的解；能写出求解的算法框图.

　　(4)对给定的具体方程组，能初步讨论当n→∞时，解(数列)的变化趋势(收敛、发散、周期).

　　4.通过具体实例(如种群增长等)，体会方程x_n+1=kx_n(1-x_n)是十分有用的数学模型.借助计算工具，用迭代法分别对k取一些特殊值(如0

　　5.应用

　　(1)学会用差分方程和差分方程组解决一些简单的实际问题.

　　(2)初步体会连续变量离散化的思想，能用它来讨论一些简单的问题.

　　6.完成一个学习总结报告.报告应包括三方面的内容：(1)知识的总结.对本专题内容的整体结构和内容的理解，对刻画离散变量变化的数学方法的认识.(2)拓展.通过查阅资料、调查研究、访问求教、独立思考，进一步探讨差分方程及其应用.(3)对本专题学习的感受.

　　说明与建议

　　1.教学过程和教材编写，应通过大量实